* Kinh nghiệm ôn - luyện thi THPT quốc gia 2016 môn Toán
GD&TĐ - Nhằm giúp thầy cô, thí sinh học ôn, làm bài môn Toán thi THPT quốc gia 2016, báo Giáo dục và Thời đại giới thiệu bài viết của tiến sĩ Nguyễn Sơn Hà - Giáo viên Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội với những chia sẻ chi tiết về lưu ý chung trong ôn luyện, giải pháp ôn tập từng chuyên đề Toán học cụ thể.
Bài 1: Lưu ý chung khi ôn luyện Toán thi THPT quốc gia
Khi ôn tập môn Toán trước kỳ thi THPT quốc gia 2016, thí sinh cần lưu ý những nội dung quan trọng dưới đây:
Giảm bớt thời gian ôn tập một số nội dung khi ngày thi sắp đến
Học sinh cần biết nội dung giảm tải môn toán THPT theo Công văn số 5842 BGDĐT–VP ngày 01/9/2011 của Bộ GD& ĐT. Ngoài ra, có những nội dung ở sách giáo khoa ban nâng cao nhưng lại không có trong sách giáo khoa ban cơ bản như:
Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách sử dụng định thức, phương trình của đường hypebol, phương trình của đường parabol, công thức xác định khoảng cách từ một điểm trên đường elip đến tiêu điểm của đường elip, đường chuẩn của đường cônic (Toán 10);
Biến ngẫu nhiên rời rạc, định nghĩa thống kê của xác suất (Toán 11); đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm bậc hai trên bậc nhất, sự tiếp xúc của hai đường cong, hệ phương trình mũ và hệ phương trình lôgarit;
Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Oy, dạng lượng giác của số phức, phương trình bậc hai có hệ số không phải là số thực, công thức tính diện tích của một hình bình hành trong không gian tọa độ, công thức tính thể tích của một khối hộp trong không gian tọa độ (Toán 12).
Không lệ thuộc hoàn toàn vào ma trận đề thi của những năm trước
Thí sinh cần chủ động ôn tập nhiều chuyên đề trong sách giáo khoa môn Toán, không lệ thuộc hoàn toàn vào ma trận đề thi của những năm trước. Cấu trúc đề thi ổn định nhưng có thể không cố định, Bộ GD& ĐT không ban hành văn bản về cấu trúc đề thi. Đề thi phân hóa ở 4 mức độ khác nhau:Nhận biết – thông hiểu – vận dụng – vận dụng cao.
Mặc dù có 4 mức độ phân hóa rõ rệt trong đề thi nhưng ma trận đề thi các năm có thể thay đổi. Cùng một cấu trúc đề thi được thể hiện ở các chủ đề, có thể có nhiều ma trận đề thi khác nhau tương ứng với những cách phân bố điểm khác nhau và đòi hỏi mức độ nhận thức khác nhau ở mỗi chủ đề.
Năm 2016, Bộ GD&ĐT thông báo có 40% câu hỏi nâng cao trong đề thi nhưng không có văn bản quy định câu hỏi nâng cao thuộc những chủ đề nào. Thi cử là một khâu đột phá trong đổi mới giáo dục, xu hướng dạy học chú trọng phát triển năng lực người học, dạy học tích hợp liên môn đang được ngành Giáo dục quan tâm.
Vì vậy, có thể xuất hiện câu hỏi ở mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao trong đề thi nhằm đánh giá khả năng vận dụng toán học để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn hoặc trong môn học khác.
Học sinh nên xem lại câu 9 - đề dự bị thi THPT quốc gia môn Toán năm 2015 để biết thêm về một yêu cầu mới lạ so với nhiều đề thi chính thức của các năm trước, xem lại 3 đề thi của Bộ GD&ĐT năm 2015 (đề minh họa, đề chính thức và đề dự bị) để thấy rằng ma trận của các đề không hoàn toàn giống nhau.
Không thừa nhận kiến thức ngoài sách giáo khoa để giải bài tập
Thí sinh cần nắm vững những công thức được đưa vào sách giáo khoa phổ thông, không thừa nhận kiến thức ngoài sách giáo khoa để giải bài tập. Bộ GD&ĐT không ban hành quy định về những kiến thức ngoài sách giáo khoa được sử dụng trong kì thi THPT quốc gia.
Vì vậy, học sinh cần hệ thống lại các công thức toán trong sách giáo khoa để nắm những kết quả nào được thừa nhận khi đi thi. Nếu học sinh vận dụng kết quả ngoài sách giáo khoa để làm bài tập thì cũng cần phải học lại cả cách chứng minh các kết quả đó.
Dành nhiều thời gian tự học, tự rèn luyện kĩ năng
Học sinh cần chú ý tự học, tự rèn luyện kĩ năng trình bày, kĩ năng tính toán. Khi học sinh làm bài thi, có thể xảy ra nhiều tình huống bất ngờ: học sinh quên những kiến thức mà mình đã hiểu trong quá khứ, học sinh không thể tìm ra đáp số đúng mặc dù biết cách giải, học sinh nghĩ đúng nhưng viết nhầm và không phát hiện ra lỗi đó,…
* Kinh nghiệm ôn - luyện thi THPT quốc gia 2016 môn Toán: Hàm số và ứng dụng
GD&TĐ - TS Nguyễn Sơn Hà - Giáo viên Trường THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội - hướng dẫn thí sinh ôn tập thi THPT quốc gia 2016 môn Toán với các chủ đề: Hàm số và ứng dụng, Số phức, Lượng giác.
Bài 2: Hàm số và ứng dụng
HS cần phải nắm vững những kiến thức cơ bản: Công thức đạo hàm, liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số, định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai, quy trình xét tính đơn điệu của một số hàm số, cực trị của hàm số, quy trình tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hoặc một đoạn, giới hạn vô cực của hàm đa thức bậc ba, hàm đa thức bậc bốn và hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, giới hạn của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất khi biến dần đến vô cực, đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị của hàm số, điều kiện để hai đường thẳng song song, điều kiện để hai đường thẳng vuông góc.
Các dạng bài tập thường gặp ở mức độ nhận biết và thông hiểu về hàm số: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba, khảo sát và vẽ đồ thị của hàm trùng phương, khảo sát và vẽ đồ thị của hàm bậc nhất trên bậc nhất, xét tính đơn điệu của hàm số, xét cực trị của hàm số, xét tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, xét giao điểm của đường thẳng và đồ thị của hàm số, xét số nghiệm phân biệt của phương trình khi biết số giao điểm của đường thẳng và đồ thị của hàm số;
Sử dụng bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số để xét sự tồn tại nghiệm của một phương trình, xét điểm thuộc đồ thị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước, xét tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hoành độ tiếp điểm, xét tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tung độ tiếp điểm, xét tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết một điểm thuộc tiếp tuyến, xét tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước, xét tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Các chủ đề có bài tập thường gặp ở mức độ vận dụng và mức độ vận dụng cao về hàm số: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải phương trình, ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải hệ phương trình, ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải bất phương trình, ứng dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức, tìm giới hạn của hàm số.
Một số lỗi thường gặp: Nhầm lẫn hai khái niệm cực đại và giá trị lớn nhất, nhầm lẫn hai khái niệm cực tiểu và giá trị nhỏ nhất, sai lầm khi khẳng định “hàm số đạt cực đại tại a khi và chỉ khi đạo hàm của hàm số tại a bằng 0”, sai lầm khi khẳng định đạo hàm của hàm số nhận giá trị dương trên hai khoảng nên hàm số đồng biến trên hợp của hai khoảng, sai lầm khi khẳng định đạo hàm của hàm số nhận giá trị âm trên hai khoảng nên hàm số nghịch biến trên hợp của hai khoảng, sai lầm khi khẳng định hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có giới hạn bằng vô cực khi biến dần đến vô cực.
Chủ đề: Số phức
HS cần phải nắm vững những kiến thức cơ bản: Bình phương của đơn vị ảo bằng âm 1, dạng đại số của số phức, phần thực của số phức, phần ảo của số phức, điều kiện để một số phức là số thực, điều kiện để một số phức là số ảo, số 0 vừa là số thực vừa là số ảo, phép toán cộng hoặc trừ hai số phức, phép toán nhân hoặc chia hai số phức, số phức nghịch đảo của một số phức khác 0, số phức liên hợp của một số phức cho trước, mô đun của số phức, điểm biểu diễn hình học của số phức, cách giải phương trình bậc hai hệ số thực.
Các dạng bài tập thường gặp ở mức độ nhận biết và thông hiểu về số phức: Tìm dạng đại số của số phức khi biết biểu thức xác định số phức, tìm phần thực của số phức, tìm phần ảo của số phức, tìm điều kiện để một số phức là số thực, tìm điều kiện để một số phức là số ảo, tìm số phức liên hợp, tìm số phức nghịch đảo, tìm mô đun của số phức, tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng đại số của số phức, tìm dạng đại số của số phức khi biết điểm biểu diễn hình học, tìm tọa độ của điểm biểu diễn hình học khi biết dạng đại số, giải phương trình bậc nhất, giải phương trình liên quan đến số phức z và số phức liên hợp, giải phương trình bậc hai có hệ số là số thực, giải phương trình tích, giải hệ phương trình nghiệm phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức khi biết số phức thỏa mãn một điều kiện xác định.
Bài tập ở mức độ vận dụng cao về số phức: Ứng dụng số phức trong giải hệ phương trình nghiệm thực.
Chủ đề: Lượng giác
HS cần phải nắm vững những kiến thức cơ bản: Công thức lượng giác và dấu của giá trị lượng giác, một số dạng phương trình lượng giác được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11, giới hạn liên quan đến hàm lượng giác, đạo hàm của hàm lượng giác.
Các dạng bài tập thường gặp ở mức độ nhận biết và thông hiểu về lượng giác: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, chứng minh đẳng thức lượng giác, giải phương trình lượng giác.
Một số lỗi thường gặp: Xác định nhầm dấu của giá trị lượng giác.
* Ôn Toán thi THPT quốc gia: Chủ đề Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
GD&TĐ - Tiến sĩ Nguyễn Sơn Hà - Giáo viên Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - hướng dẫn thí sinh ôn tập thi THPT quốc gia 2016 môn Toán các chủ đề: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Niu-tơn; Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng; Phương pháp tọa độ trong không gian; Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Chủ đề: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Học sinh cần phải nắm vững những kiến thức cơ bản: Các quy tắc tính lôgarit, giới hạn của hàm số liên quan đến số e và lôgarit tự nhiên, bảng đạo hàm của hàm số, tính đơn điệu của hàm số, phương trình mũ cơ bản, cách giải một số phương trình đơn giản.
Các dạng bài tập ở mức độ nhận biết hoặc thông hiểu của chủ đề này có thể là: Tính giá trị của biểu thức, xét tính đơn điệu của hàm số, tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của hàm số, giải phương trình, giải bất phương trình.
Các dạng bài tập ở mức độ vận dụng và vận dụng cao liên quan đến lũy thừa, mũ và lôgarit có thể là: Giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, tìm giới hạn của hàm số.
Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong không gian
Học sinh cần phải nắm vững những kiến thức cơ bản: Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu, công thức xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, công thức xác định tích vô hướng của hai véc tơ, công thức xác định tích có hướng của hai véc tơ.
Các bài tập ở mức độ nhận biết và thông hiểu về phương pháp tọa độ trong không gian: Lập phương trình của đường thẳng, lập phương trình của mặt phẳng, lập phương trình của mặt cầu, tìm điểm trong không gian thỏa mãn điều kiện xác định, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Tình huống thường gặp trong bài toán lập phương trình của đường thẳng: Đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước, đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước, đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với hai đường cho trước, đường thẳng đi qua một điểm đồng thời vuông góc và cắt một đường cho trước, đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước.
Tình huống thường gặp trong bài toán lập phương trình của mặt phẳng: Mặt phẳng chứa ba điểm phân biệt không thẳng hàng, mặt phẳng chứa một đường thẳng và một điểm ngoài đường thẳng, mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước, mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước, mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước, mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại một điểm cho trước, mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng khác.
Tình huống thường gặp trong bài toán lập phương trình của mặt cầu: Mặt cầu có tâm và bán kính cho trước, mặt cầu có tâm và đi qua một điểm cho trước, mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước, mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một đường thẳng cho trước, mặt cầu chứa bốn điểm cho trước, mặt cầu có tâm và cắt mặt phẳng cho trước theo một đường tròn có bán kính không đổi, mặt cầu có tâm và cắt đường thẳng cho trước tại hai điểm có khoảng cách không đổi.
Với những bài toán xác định tọa độ của một điểm trong không gian, học sinh thường phải tham số hóa tọa độ và lập một phương trình tìm tham số hoặc gọi bộ ba số xác định tọa độ và lập hệ ba phương trình để tìm hoành độ, tung độ, cao độ.
Ngoài các tình huống trên, học sinh cần biết ứng dụng của phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian.
Chủ đề: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Học sinh cần phải nắm vững những kiến thức cơ bản: Các công thức đạo hàm, bảng nguyên hàm cơ bản, cách tìm vi phân của một hàm số, phương pháp đổi biến số, phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số, công thức tích thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Ox.
Các dạng bài tập thường gặp ở mức độ nhận biết và thông hiểu về tích phân: Tìm nguyên hàm hoặc tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản; tìm nguyên hàm hoặc tích phân bằng cách sử dụng phương pháp đổi biến số; tìm nguyên hàm hoặc tích phân bằng cách sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần;
Tìm nguyên hàm hoặc tích phân bằng cách tách nguyên hàm ban đầu thành hai nguyên hàm mới mà hai biểu thức được tìm theo hai cách khác nhau, tìm nguyên hàm hoặc tích phân bằng cách sử dụng đồng thời phương pháp đổi biến số và phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm diện tích hình phẳng, tìm thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Ox.
Chú ý một số tình huống thường gặp khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần: Nếu biểu thức dưới dấu nguyên hàm có một trong các dạng (ax+b) nhân với sinnx, (ax+b) nhân với cosnx, (ax+b) nhân với e mũ (mx+n) thì ta chọn u bằng ax+b; nếu biểu thức trong nguyên hàm tích phân có dạng một đa thức hoặc phân thức biến x nhân với lnx thì ta chọn u=lnx. Trong các trường hợp trên, chọn dv là thành phần còn lại dưới dấu nguyên hàm, tích phân.
Một số lỗi thường gặp: Thiếu dx trong dấu nguyên hàm, thiếu ngoặc đơn khi viết nguyên hàm để tính tích phân, quên C khi tìm nguyên hàm, thừa C khi viết kết quả tích phân, thừa nhận u bằng f(x) tương đương với du bằng đạo hàm của f(x) nhân dx, viết công thức tính diện tích của hình phẳng theo giá trị tuyệt đối của tính phân khi không có điều kiện gì.
Chủ đề: Tổ hợp, xác suất, nhị thức Niu-tơn
Học sinh cần phải nắm vững những kiến thức cơ bản: Định nghĩa hoán vị và công thức tính số hoán vị, định nghĩa chỉnh hợp và công thức tính số chỉnh hợp, định nghĩa tổ hợp và công thức tính số tổ hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân, định nghĩa cổ điển của xác suất, biến cố xung khắc và quy tắc cộng tính xác suất, biến cố đối, nhị thức Niu-tơn, công thức xác định số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niu-tơn.
Các tình huống thường gặp nhằm đánh giá mức độ thông hiểu và vận dụng về tổ hợp, xác suất, nhị thức Niu-tơn: Đếm số phần tử của một tập hợp, đếm số cách thực hiện một công việc (có thể đếm bằng cách sử dụng quy tắc cộng; sử dụng quy tắc nhân; sử dụng phần bù; xét sự tương ứng);
Tính xác suất (có thể tính xác suất bằng cách đếm số phần tử và dùng định nghĩa cổ điển của xác suất, sử dụng quy tắc cộng tính xác suất, sử dụng biến cố đối); tìm số tự nhiên n thỏa mãn một đẳng thức liên quan đến số tổ hợp chỉnh hợp hoán vị; tìm số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn; chứng minh đẳng thức bằng cách sử dụng nhị thức Niu-tơn.
Một số lỗi thường gặp: nhầm lẫn tình huống sử dụng quy tắc cộng với tình huống sử dụng quy tắc nhân, viết sai khai triển lũy thừa bậc cao của một hiệu.
* Ôn tập Toán thi THPT quốc gia: Chủ đề bất đẳng thức, phương trình...
GD&TĐ - Tiến sĩ Nguyễn Sơn Hà - Giáo viên Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - hướng dẫn ôn tập môn Toán các chủ đề: Khối đa diện, khối tròn xoay; Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số; Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng; Bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Chủ đề: Khối đa diện và khối tròn xoay
Học sinh cần phải nắm vững những kiến thức cơ bản: Hai đường thẳng song song, góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, hình chóp đều, hình tứ diện đều, hình hộp, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đứng, hình lăng trụ tam giác đều;
Hình lăng trụ tứ giác đều, hình lập phương, hình nón, hình trụ, mặt cầu, công thức tính thể tích của khối chóp, công thức tính thể tích của khối lăng trụ, công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ, công thức tính thể tích của khối nón, công thức tính thể tích của khối trụ, công thức tính diện tích của mặt cầu, công thức tính thể tích của khối cầu, cách xác định tâm của mặt cầu đi qua 4 điểm.
Học sinh phải nhớ những kiến thức liên quan đến các đại lượng hình học ở cấp THCS và ở lớp 10: Định lí Pytago, tỉ số lượng giác của góc nhọn và hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí côsin trong tam giác, công thức trung tuyến, định lí sin trong tam giác, các công thức tính diện tích của tam giác, diện tích của hình chữ nhật, chu vi và diện tích của hình tròn.
Các tình huống thường gặp nhằm đánh giá mức độ thông hiểu và vận dụng về khối đa diện: Tính thể tích của khối chóp hoặc khối lăng trụ, chứng minh các quan hệ song song giữa các đối tượng đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh các quan hệ vuông góc giữa các đối tượng đường thẳng và mặt phẳng, tính các loại góc và khoảng cách trong không gian.
Những hình đa diện thường gặp là: Hình chóp đều có đường cao đi qua tâm của mặt đáy; hình lăng trụ đứng có đường cao bằng cạnh bên; hình chóp hoặc hình lăng trụ có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy, khi đó chiều cao của hình chóp bằng độ dài của cạnh bên; hình chiếu vuông góc của các cạnh bên còn lại trên mặt đáy là đoạn thẳng có một đầu mút là chân đường cao, từ đó có thể xác định góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng chứa đáy của đa diện;
Hình chóp hoặc hình lăng trụ có một mặt bên vuông góc với mặt đáy, khi đó đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ là đường cao của mặt bên và hình chiếu của mọi đường thẳng thuộc mặt bên trên đáy trùng với giao tuyến, từ đó có thể xác định góc giữa đường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng chứa đáy của đa diện.
Nếu giả thiết của bài toán có hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì thường kẻ thêm đường phụ là đường thẳng trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến, khi đó đường này sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại. Nếu giả thiết có hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ ba thì thường dùng đến giao tuyến của hai mặt phẳng vì giao tuyến sẽ vuông góc với mặt thứ ba.
Các tình huống thường gặp nhằm đánh giá mức độ thông hiểu và vận dụng về khối tròn xoay: xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hoặc lăng trụ. Có thể phải xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy đa diện, từ đó xác định trục của đường tròn ngoại tiếp. Nếu các đỉnh đa diện cùng nhìn hai điểm cố định dưới một góc vuông, khi đó tâm mặt cầu là trung điểm đoạn nối hai điểm cố định.
Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đường tròn và hình chiếu của đỉnh trên đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy, trục của đường tròn ngoại tiếp đáy chứa đường cao hình chóp. Hình chóp đều có tâm mặt cầu ngoại tiếp thuộc đường cao.
Hình chóp có đáy là tam giác vuông có trục của đường tròn ngoại tiếp đáy là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh huyền và vuông góc với đáy. Với dạng toán hình trụ, ta thường kẻ thêm đường sinh, đường sinh của hình trụ vuông góc với hai đáy và song song với đường thẳng nối tâm của hai đáy.
Một số lỗi thường gặp: nhầm lẫn các khái niệm hình chóp tam giác đều và tứ diện đều, hình hộp và hình hộp đứng, hình hộp đứng và hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ tứ giác đều và hình lập phương.
Chủ đề: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số
Các tình huống thường gặp nhằm đánh giá khả năng vận dụng cao ở chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số: Giải phương trình, bất phương trình bằng cách kết hợp nhiều phương pháp khác nhau:
Biến đổi tương đương (chuyển vế đổi dấu, cộng vào hai vế với một đại lượng, nhân hoặc chia hai vế với một đại lượng khác 0, bình phương hai vế kèm theo điều kiện, biến đổi tương đương về dạng tích); đặt một ẩn phụ; đặt hai ẩn phụ; đánh giá bằng bất đẳng thức đại số; đánh giá bằng bất đẳng thức hình học; đánh giá bằng cách sử dụng chiều biến thiên của hàm số; lượng giác hóa.
Học sinh cần phải chú ý có những phương trình mà nhiều máy tính hiện nay không thể hiện được chính xác nghiệm, cần phải sử dụng biểu thức khác để thể hiện nghiệm: sử dụng căn bậc n, sử dụng lũy thừa với số mũ thực, sử dụng lôgarit, sử dụng biểu thức lượng giác…
Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Các dạng bài tập của chủ đề này thường đánh giá mức độ vận dụng cao, yêu cầu học sinh khai thác các kết quả đã có về hình học ở cấp THCS và lớp 10, sau đó mới dùng tọa độ thể hiện các kết quả đó.
Học sinh cần ôn lại nhiều nội dung: tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tia phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng, điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng, điểm nằm trên tia phân giác của một góc, ba đường phân giác trong một tam giác, ba đường cao trong một tam giác;
Ba đường trung trực trong một tam giác, ba đường trung tuyến trong một tam giác, trọng tâm của tam giác, trực tâm của tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác, các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, định lí Ta-let và tính chất của đường phân giác trong tam giác, các trường hợp đồng dạng của hai tam giác.
Học sinh cần vận dụng được các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, đường elip (tổng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường elip đến hai tiêu điểm là một đại lượng không đổi);
Vận dụng được các tính chất của đường tròn, tính chất của đường kính vuông góc với dây cung, liên hệ về độ dài của hai dây cung và khoảng cách từ tâm của đường tròn đến hai dây cung, tiếp tuyến của đường tròn, góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, tứ giác nội tiếp đường tròn, đẳng thức tích độ dài của các đoạn thẳng có được khi hai đường thẳng chứa hai dây cung của một đường tròn cắt nhau, đẳng thức tích độ dài của các đoạn thẳng có được khi tiếp tuyến của đường tròn và đường thẳng chứa dây cung một một đường tròn cắt nhau.
Học sinh cần phải nhớ kết quả của nhiều bài toán hình học THCS để vận dụng giải các bài toán về tọa độ. Học sinh chú ý cả những tình huống bất thường: khai thác giả thiết ban đầu về tọa độ để suy ra hình vẽ đặc biệt, sau đó sử dụng các kết quả ở cấp THCS đối với hình vẽ đặc biệt và cuối cùng mới thể hiện các tính chất hình vẽ đặc biệt thông qua tọa độ.
Chủ đề: Bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là nội dung có thể được sử dụng để kiểm tra khả năng vận dụng cao của học sinh. Chủ đề này thường rất khó và không có quy trình giải cố định, học sinh phải có tư duy rất tốt và tự học nhiều thì mới có cơ hội làm được:
Phải nắm vững nhiều bất đẳng thức quan trọng, nắm vững nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, nắm vững nhiều kết quả của các bài toán mà có thể khai thác được trong việc chứng minh bất đẳng thức,...
Ngoài những chủ đề nói trên, học sinh cần quan tâm thêm những bài toán tổng hợp nhiều nội dung toán học, những bài toán liên quan đến thực tiễn, những bài toán có nội dung tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực người học.
Học sinh phải hiểu kĩ về các khái niệm toán học, biết vận dụng các khái niệm toán học để giải quyết những vấn đề thực tiễn hoặc những vấn đề liên quan đến môn học khác. Học sinh phải tự đọc nhiều tài liệu giới thiệu con đường hình thành các khái niệm toán học, tài liệu giới thiệu ý nghĩa của các khái niệm toán học.
Ví dụ: ý nghĩa của công thức tăng trưởng mũ trong bài toán tính lãi suất và dự báo dân số thế giới; ý nghĩa của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong một số bài toán kinh tế;…
* 15 sai lầm thường gặp khi làm bài thi môn Toán
GD&TĐ - Thạc sĩ Nguyễn Sơn Hà - giáo viên trường THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội - cho biết: Để không bị mất điểm môn Toán kì thi ĐH, học sinh cần chú ý:
1. Biến đổi "tương đương" trong những tình huống chỉ đúng một chiều là chiều "suy ra"
Những biến đổi sau không đúng:
Hai đường thẳng song song "tương đương" với hai hệ số góc bằng nhau.
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC ‘tương đương’ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB.
f(x) bằng g(x) ‘tương đương’ với đạo hàm của f(x) bằng đạo hàm của g(x).
u bằng f(x) ‘tương đương’ với du bằng đạo hàm của f(x) nhân với dx.
Hệ hai phương trình f(x,y)=0 và g(x,y)=0 ‘tương đương’ với một phương trình a.f(x,y)+b.g(x,y)=0 (a, b là hai số thực khác 0).
Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần thực bằng nhau.
Hai số phức bằng nhau ‘tương đương’ với hai phần ảo bằng nhau….
Giải pháp an toàn: Một số trường hợp thường dùng biến đổi "tương đương" là giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, giải hệ bất phương trình, giải bài toán tìm điều kiện cần và đủ. Các trường hợp khác, học sinh nên biến đổi "suy ra".
Tóm lại, khi khẳng định ‘Nếu A thì B’ đúng và khẳng định "Nếu B thì A" sai, học sinh không được biến đổi "tương đương".
2. Thiếu điều kiện, thừa kết quả, quên kết luận
Khi bài toán có biểu thức căn bậc hai, biểu thức có ẩn dưới mẫu số, biểu thức tanx, biểu thức cotx, biểu thức logarit, dạng đại số của số phức, học sinh cần hình thành ‘phản xạ có điều kiện’ và kiểm tra lại điều kiện trước khi viết đáp số.
Với những bài toán cần xét nhiều trường hợp, học sinh cần chú ý tổng hợp kết quả và kết luận.
3. Gạch đầu dòng tùy tiện
Nếu học sinh gạch đầu dòng liền trước một biểu thức thì có thể bị hiểu là: nhầm dấu của biểu thức
Ví dụ: Giải phương trình sinx + cosx = 1. Nếu học sinh gạch đầu dòng là
" – sinx + cosx = 1"
thì sẽ bị hiểu nhầm là ‘biểu thức trừ sinx cộng với cosx bằng 1’.
4. Viết lời giải bài toán như một ‘đoạn văn’ dài, không chia ý rõ ràng và làm sai ở câu cuối cùng của đoạn mình viết
Học sinh nên chia ý rõ ràng và xuống dòng khi kết thúc các ý, nếu sai ý sau thì vẫn được chấm điểm ý trước.
Mỗi bài toán thi đại học thường được tính 1 điểm và đáp án thường có 4 ý, mỗi ý 0,25 điểm. Các học sinh cần chú ý điều này để trình bày các ý rõ ràng.
5. Viết nhầm lẫn các chữ, các kí hiệu
Học sinh chú ý phân biệt các chữ, các kí hiệu sau khi viết bài thi:
Chữ i và số 1, chữ b và số 6, chữ z và số 2, chữ D và chữ P, chữ D và chữ O, chữ P và chữ O, chữ H và chữ A, chữ g và chữ y, chữ g và chữ q, chữ q và số 9, chữ C và dấu ngoặc đơn ( , chữ C và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con, dấu ngoặc đơn ( và kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con, chữ u và chữ v, chữ u và chữ n, dùng chung kí hiệu chỉ quan hệ tập hợp con và kí hiệu chỉ quan hệ phần tử thuộc tập hợp, chữ a và kí hiệu góc anpha.
6. Dùng chung tên điểm tại hai vị trí khác nhau
Bài toán phương pháp tọa độ, học sinh thường có thói quen gọi tâm đường tròn là O, gọi tâm mặt cầu là O. Các em cần chú ý rằng, O là gốc tọa độ. Trong trường hợp dùng chung tên điểm, các em không nên vội vàng xóa, có thể khắc phục nhanh sự cố bằng cách thêm dấu phẩy vào điểm đó, ví dụ O’.
7. Tính toán sai, sử dụng kết quả sai để làm tiếp
Học sinh cần chú ý cẩn thận trong từng phép tính, tránh tình trạng tính toán vội vàng rất nhiều phép tính rồi mới kiểm tra từ đầu và sửa sai từ đầu.
8. Lập phương trình sai, sử dụng máy tính để tìm chính xác nghiệm của phương trình đó và yên tâm kết luận
Học sinh cần chú ý kiểm tra kĩ phương trình trước khi dùng máy tính để tìm nghiệm, tránh tình trạng quá tin tưởng máy tính mà quên mất là phương trình sai.
9. Nhập sai số liệu vào máy tính điện tử và yên tâm dùng kết quả của máy tính
Học sinh không nên chủ quan khi dùng máy tính, cần kiểm tra cẩn thận các số liệu khi nhập vào máy tính.
10. Sử dụng máy tính điện tử để tìm nghiệm dưới dạng gần đúng
Khi đáp số được viết dưới dạng phân số hoặc dạng căn bậc hai, dạng logarit của một số dương, nếu máy tính cho kết quả là một số thập phân gần đúng thì vẫn không được chấp nhận với bài toán yêu cầu tìm đúng kết quả. Học sinh cần chú ý thử máy tính trước khi đi thi.
11. Đọc nhầm đề dẫn đến một bài toán dễ hơn, tính toán nhanh hơn, giải được bài toán mới và yên tâm không kiểm tra lại đề bài
Học sinh cần đọc đề kĩ, xác định đúng yếu tố đã cho, điều phải tìm, điều phải chứng minh.
12. Sử dụng đúng giả thiết và mất thời gian đưa ra kết quả mới không liên quan gì đến kết luận của bài toán
Học sinh phải rất cảnh giác với những tình huống ‘lạc đề’, suy luận đúng nhưng không để làm gì, không phục vụ cho việc giải bài toán trong đề thi.
13. Mất thời gian làm đúng một bài toán không liên quan đến bài toán trong đề thi
Tình huống có thể xảy ra với học sinh và không có điểm.
Bài toán trong đề thi: Chứng minh biểu thức A lớn hơn biểu thức B. Học sinh mất thời gian chứng minh được biểu thức A lớn hơn biểu thức C nhưng
không biết biểu thức C lại nhỏ hơn biểu thức B.
14. Sử dụng kết quả không được quy định trong chương trình
Kết quả được sử dụng để giải bài thi phải phù hợp với sách giáo khoa chương trình hiện hành. Khi học sinh thừa nhận kiến thức không được quy định trong chương trình, học sinh làm đúng, bài thi vẫn không được tính điểm tối đa.
Nếu các học sinh giỏi sử dụng kết quả ngoài sách giáo khoa thì phải chứng minh lại các kết quả đó bằng kiến thức trong sách giáo khoa.
Khi chọn đề theo chương trình ban cơ bản, học sinh đã học sách giáo khoa ban nâng cao có thể không biết những kết quả mình sử dụng không có trong sách giáo khoa ban cơ bản. Học sinh cần tìm hiểu trước những kiến thức có trong sách giáo khoa ban nâng cao nhưng không có trong sách giáo khoa ban cơ bản.
15. Nghĩ được cách giải, học sinh có thể vui mừng và chủ quan, không kiểm soát được mình viết đúng hay viết sai, không cẩn thận trong việc viết kết quả
Học sinh không có cơ hội gặp giám khảo để giải thích suy nghĩ của mình. Khi đi thi, các em không thể bằng lòng sớm với việc phát hiện ra cách giải. Khi ngồi trong phòng thi, yếu tố tâm lí có thể làm cho các em không viết được chính xác những điều đã suy nghĩ.
Học sinh cần chú ý
- Ba yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến kết quả thi là: kiến thức, kĩ năng và tâm lí.
- Ba nguyên tắc quan trọng khi viết bài thi để có thể đạt điểm cao là:
3 Đ: Đúng - Đủ - Đẹp.
1) Học sinh phải viết đúng kí hiệu, viết đúng công thức, vẽ hình đúng, lập luận đúng, kết quả đúng.
2) Học sinh phải viết đủ ý.
3) Học sinh phải trình bày đẹp, diễn đạt tốt.
* Cuộc đời đẹp nhất học sinh, đi thi đỗ đạt đời mình đẹp hơn!
GD&TĐ - Thầy Nguyễn Sơn Hà - Giáo viên Toán Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội - lưu ý thí sinh trước môn thi Toán, kỳ thi THPT quốc gia bằng lời thơ dễ thuộc, dễ nhớ.
"Đi thi hãy nhớ điều này
Tự tin cẩn thận, gặp may sẽ nhiều
Làm bài không được viết liều
Trình bày chặt chẽ được nhiều thầy thương
Đầu tiên chú ý sở trường
Nếu câu nào dễ, bình thường làm luôn
Nếu câu khó quá không buồn
Nhớ tìm câu dễ có luôn trong đề
Khi thi kiến thức sẽ về
Tự nhiên nhớ lại thấy đề quen quen
Học nhiều thì sẽ không quên
Nếu trò có chí thì nên, trưởng thành
Viết bài không được quá nhanh
Từng chi tiết nhỏ song hành cùng nhau
Nhớ luôn điều kiện từ đầu
Kiểm tra đáp số nhiều câu hay lừa
Tự tin cẩn thận không thừa
Khi thi bình tĩnh lại vừa thông minh
Cuộc đời đẹp nhất học sinh
Đi thi đỗ đạt đời mình đẹp hơn"
Nguyễn Sơn Hà
